Как найти экстремум?

Как найти экстремум?

Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

  • найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
  • найти корни уравнения.

Последовательность нахождения экстремума

  1. Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f `(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
  2. Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
  3. Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f ` (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
  4. Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии. 

Алгоритм нахождения экстремума

Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

  1. Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
  2. Находим производную от функции f `(x).
  3. Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
  4. Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f `(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
  5. Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
  6. Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
  7. Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.


Внимание, только СЕГОДНЯ!

ДРУГОЕ

Что такое экстремум? фото

Что такое экстремум?

Экстремум - это математический термин, который применяется при описании математической функции либо графика этой…

Как найти график функции? фото

Как найти график функции?

С задачей построения графика функции школьники сталкиваются в самом начале изучения алгебры и продолжают строить их из…

Как построить график? фото

Как построить график?

Для того чтобы понять как построить график функции, необходимо исследовать область значения (допустимые значения…

Как найти производную? фото

Как найти производную?

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в…

Что такое производная? фото

Что такое производная?

Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным…

Как найти параболу? фото

Как найти параболу?

Параболой является график квадратичной функции. Данная линия обладает весомым физическим значением. Для того чтобы…

Что такое интеграл? фото

Что такое интеграл?

В высшей математике используется такое понятие, как интеграл или полное название - интеграл функции.Итак, что такое…

Как находить пределы? фото

Как находить пределы?

Существует в математике такое понятие, как предел функции. Чтобы понимать, как находить пределы, нужно помнить…

Что такое минимум? фото

Что такое минимум?

Минимум - значение, которое мы используем в повседневной жизни достаточно часто. Данный термин в переводе с латинского…

Как построить гиперболу? фото

Как построить гиперболу?

Гипербола - это график функции, состоящий из двух удаляющихся друг от друга ветвей. Каждая из ветвей является…

Построить график прямой? фото

Построить график прямой?

Математика – наука непростая, и далеко не всем дается с первого раза. Порой ученики сидят за конспектами по нескольку…

Как решать неравенства? фото

Как решать неравенства?

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями.…

Что такое логарифм? фото

Что такое логарифм?

Алгебра - сложная и интересная наука, основанная на множестве функций. Рассмотрим, что такое логарифм и каковы его…

Как найти синус? фото

Как найти синус?

Как найти синус?Изучение геометрии помогает развивать мышление. Этот предмет обязательно входит в школьную подготовку.…

Что такое корень уравнения? фото

Что такое корень уравнения?

Чтобы ответить на вопрос, что такое корень уравнения, нужно сначала разобраться с самым понятием уравнения. Наверное,…

» » » Как найти экстремум?